Voitonmaksimointitehtävä sekä 2.asteen yhtälön ratkaisut?

[Jebulis]

Hei!

Vanhoissa pääsykokeissa on aika usein ollut laskutehtävä, jossa on pitänyt laskea yrityksen voiton maksimointi annetuista kysyntä- ja kustannuskaavoista. Tehtävä etenee usein niin, että etsitään voiton derivaatan nollakohdat, ja tähän usein käytetään toisen asteen yhtälöä, jolloin saadaan myös kaksi eri määrän (q) arvoa. Nyt kysymykseni liittyisi tähän toisen asteen yhtälön kahteen eri arvoon: vanhoissa pääsykoeratkaisuissa on yleensä tästä eteenpäin lähdetty tutkimaan päätepisteitä ja niiden maksimi- ja minimikohtia (esim. 2. kertaluvun ehdoilla).

Mutta eikö tähän yksinkertaisesti riittäisi vain (koska tehtävässä pitää etsiä, millä q:n arvoilla voitto maksimoituu) sijoittamalla vuoronperään molemmat toisen asteen yhtälön q:n arvot alkuperäiseen voiton kaavaan ja katsomalla kummalla q:n arvolla tulee suurempi lopputulos eli voitto? Ja myös jatkokysymyksenä, jos näin menettelee, eikä siis erikseen tutki mitään maksimi- ja minimikohtia, voiko arvostelija vähentää tästä pisteitä? Minusta ei ainakaan pitäisi, koska aika loogisesti voidaan todeta kokeilemalla, kummalla q:n arvolla päästään parempaan voittoon.

[Jebulis]

Osaisiko kukaan vastata tähän? Eli en edelleenkään näe syytä, miksi tarvitsisi etsiä erikseen monimutkaisia minimi- ja maksimikohtia, kun tulokset voi suoraan sijoittaa haluttuun kaavaan, ja katsoa kummalla tulee suurempi voitto.

[Joose]

Moi,

Toisinaan derivaatan nollakohta ei ole minimi eikä maksimi. Esim. funktiolla f(x) = x^3 on derivaatan nollakohta x=0, mutta se ei ole minimi eikä maksimi.

Mielestäni ei ole välttämätöntä laskea 2. derivaattaa, jos pystyy muulla tavalla perustelemaan, miksi kyseinen kohta on maksimi. Esim. jos voittofunktio on laskeva 3. asteen polynomi, jolla on kaksi derivaatan nollakohtaa (kuten se yleensä on ollut), niin mielestäni riittää todeta, että tämän funktiomuodon perusteella tiedämme, että oikeanpuoleinen derivaatan nollakohta on lokaali maksimi.

Kuitenkin, jos itse osallistuisin kokeeseen, pelaisin luultavasti varman päälle ja perustelisin vastaukseni funktion 2. derivaatan avulla.

t. Joose

[Jebulis]

Tähän vielä selventävä jatkokysymys: eli onko asia niin, että voitto maksimoituu aina siinä, missä on lokaalimaksimi? Voiko olla poikkeustapauksia?

[Joose]

Globaalin maksimin on pakko olla samalla myös lokaali maksimi. Jos lokaaleja maksimeja on useita, globaali maksimi on jokin niistä.

Lokaaleja maksimeja voi löytyä joko
1) derivaatan nollakohdasta tai
2) funktion reunapisteestä, mikäli voittofunktio on rajoitettu (esim. jos yritys ei voi tuottaa enempää kuin korkeintaan 10 hyödykettä).

t. Joose